Comprendre les transformations des fonctions est une compétence essentielle pour les étudiants abordant des concepts mathématiques avancés. Que vous déplaciez, étiriez, comprimiez ou reflétiez des graphes, maîtriser ces transformations vous aide à mieux visualiser et analyser les fonctions.
Soit f(x) une fonction donnée. Nous définissons alors quatre paramètres de transformation : a, b, h et k, tels que :
a contrôle la réflexion verticale par rapport à l’axe des abscisses ainsi que l’étirement et la compression verticales.
b contrôle la réflexion horizontale par rapport à l’axe des ordonnées ainsi que l’étirement et la compression horizontales.
h contrôle la translation horizontale – déplacement de la fonction vers la gauche ou la droite.
k contrôle la translation verticale – déplacement de la fonction vers le haut ou vers le bas.
Grâce à ces paramètres, nous pouvons transformer la fonction f(x) et représenter la nouvelle fonction transformée comme suit :
On peut alors affirmer que tout point de coordonnées (x,y) défini sur le graphe de la fonction originale f(x) se transformera en un point de coordonnées défini sur le graphe de la nouvelle fonction transformée. Cette transformation algébrique s’effectue ainsi :
Remarque 1 : Nous pouvons également définir ces quatre paramètres et les appliquer à toute relation, et pas seulement à une fonction.
Remarque 2 : Si l’un des quatre paramètres de transformation n’est pas visible dans l’équation de la fonction transformée, nous pouvons supposer que :
a = 1
b = 1
h = 0
k = 0
Lorsqu’on décrit ces transformations verbalement, les implications suivantes s’appliquent :
Si |a| > 1, alors il y a un étirement vertical d'un facteur de |a|.
Si 0 < |a| < 1, alors il y a une compression verticale d'un facteur de |a|.
Si a < 0, alors il y a une réflexion verticale par rapport à l'axe des abscisses.
Si |b| > 1, alors il y a une compression horizontale d'un facteur de 1 / |b|.
Si 0 < |b| < 1, alors il y a un étirement horizontal d'un facteur de 1 / |b|.
Si b < 0, alors il y a une réflexion horizontale par rapport à l'axe des ordonnées.
Si h > 0, alors il y a une translation vers la droite de h unités.
Si h < 0, alors il y a une translation vers la gauche de h unités.
Si k > 0, alors il y a une translation vers le haut de k unités.
Si k < 0, alors il y a une translation vers le bas de k unités.
Chaque type de relation possède sa propre formule de transformation. Nous allons fournir ci-dessous un échantillon des fonctions de base courantes ainsi que leurs formules de transformation correspondantes.
La fonction quadratique :
La fonction valeur absolue :
La fonction radicale :
